Birim çember ve trigonometrik oranlar

Trigonometrik Oranlar · Kazanım kodu 11.MAT.1.2

ZORLUK ★★★★★SÜRE 14 dkÖN KOŞUL 11.MAT.1.1✓ AÇIK

▶ HEMEN BAŞLA

Birim çember tüm trigonometrinin haritasıdır! 🎯 P(cos θ, sin θ) noktasını canlı izle.

ÖZEL SAHNE · CANVAS11.MAT.1.2 · 11. sınıfCANVAS

1Hook · 30 saniye dikkat

Birim çember tüm trigonometrinin haritasıdır! 🎯 P(cos θ, sin θ) noktasını canlı izle.

2Giriş · Sanal Hoca selamı

Birim çember = yarıçapı 1 olan, merkezi orijinde olan çember. Bir noktanın koordinatları sin–cos verir. Tüm trig oranlarının kökü budur.

3Ana Anlatım

BİRİM ÇEMBER x² + y² = 1 denklemli, yarıçapı 1, merkezi orijin. Yönlü açı θ ile çember üzerinde nokta P(cos θ, sin θ). TANIMLAR (Birim çemberden): • sin θ = P'nin y koordinatı • cos θ = P'nin x koordinatı • tan θ = sin θ / cos θ (cos θ ≠ 0) • cot θ = cos θ / sin θ (sin θ ≠ 0) • sec θ = 1 / cos θ (cos θ ≠ 0) • csc θ = 1 / sin θ (sin θ ≠ 0) DEĞER ARALIKLARI: • −1 ≤ sin θ ≤ 1 • −1 ≤ cos θ ≤ 1 • tan, cot: ℝ (tanımsız noktaları HARİÇ) • |sec|, |csc| ≥ 1 ÖZEL AÇILAR (EZBER): θ | sin θ | cos θ | tan θ 0° | 0 | 1 | 0 30°(π/6) | 1/2 | √3/2 | √3/3 45°(π/4) | √2/2 | √2/2 | 1 60°(π/3) | √3/2 | 1/2 | √3 90°(π/2) | 1 | 0 | TANIMSIZ 180°(π) | 0 | −1 | 0 270°(3π/2)| −1 | 0 | TANIMSIZ İŞARET KURALI (ASTC / HSTC): • I. bölge (0–90°): sin+ cos+ tan+ (Hepsi) • II. bölge (90–180°): sin+ cos− tan− (Sin) • III. bölge (180–270°): sin− cos− tan+ (Tan) • IV. bölge (270–360°): sin− cos+ tan− (Cos) GEZER NOKTA (BÖLGE TESPİTİ): • cos+ ve sin+ → I. • cos− ve sin+ → II. • cos− ve sin− → III. • cos+ ve sin− → IV. İNDİRGEME (kısaca): • sin(180°−θ) = sin θ • sin(180°+θ) = −sin θ • sin(360°−θ) = −sin θ • cos(180°−θ) = −cos θ • cos(180°+θ) = −cos θ • cos(360°−θ) = cos θ AYT İPUCU: Bölge tespiti + işaret tablosu + özel açı ezberi = AYT sorularının %80'i. Birim çember zihninde HAREKETLİ olmalı: ışını döndür, x ve y koordinatlarını oku.

4Formül · LaTeX

x^2 + y^2 = 1, \quad P(\cos\theta, \sin\theta), \quad \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

5Çözümlü Örnekler

ÖRNEK 1

📌 Örnek 1: θ = 60° için birim çemberdeki P noktası ve trig oranlar. 
  Çözüm: P = (cos 60°, sin 60°) = (1/2, √3/2). 
  sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2, tan 60° = sin/cos = (√3/2)/(1/2) = √3.

ÖRNEK 2

📌 Örnek 2: θ = 135°'de işaretler ve değer. 
  Çözüm: 135° ∈ II. bölge → sin+, cos−, tan−. 
  P = (cos 135°, sin 135°) = (−√2/2, √2/2). 
  tan 135° = (√2/2)/(−√2/2) = −1.

ÖRNEK 3

📌 Örnek 3: θ = 210° için sin, cos, tan. 
  Çözüm: 210° ∈ III. bölge → sin−, cos−, tan+. 
  sin 210° = −1/2, cos 210° = −√3/2, tan 210° = √3/3.

ÖRNEK 4

📌 Örnek 4: cos θ = −√3/2 ve θ ∈ III. bölge. sin θ = ? 
  Çözüm: III'te sin− → sin θ = −√(1 − cos²θ) = −√(1 − 3/4) = −1/2. 
  Açı: θ = 210°.

ÖRNEK 5

📌 Örnek 5: tan θ = 1 ve θ ∈ III. bölge. sin θ + cos θ = ? 
  Çözüm: tan 45° = 1 ve III'te aynı oran → θ = 225°. 
  sin 225° = −√2/2, cos 225° = −√2/2. 
  Toplam = −√2.

6Mini Test · 5 soru

Birim çemberde 90° için P noktası?

II. bölgede aşağıdakilerden hangisi pozitiftir?

sec θ = ?

180° için sin değeri?

sin² θ + cos² θ = 1 birim çember denkleminden gelir.

7Özet · Kapanış

• P(cos θ, sin θ) birim çemberde. • ASTC/HSTC bölge işaretleri. • tan = sin/cos, sec = 1/cos, csc = 1/sin, cot = cos/sin. • Özel açıları (30/45/60/90/180/270) EZBERLE.

Bu ders MEB kazanım 11.MAT.1.2 ile eşlenmiştir. Soldaki interaktif 3B sahneyle kavramı deneyerek pekiştir. Sesli/animasyonlu sürüm yapım aşamasında.

📌 Çıkmış Sorular · 5 soru

🏆 Giriş yaparsan çözdükçe puan kazan →

1Çıkmış Sorular Testi

III. bölgede pozitif olan trig oran hangisidir?

270° için cos değeri?

90°'de tan θ ne olur?

cot θ = ?

sin değer aralığı [−1, 1]'dir.

🔬İlgili SimülasyonlarPhET · interaktif

Simülasyonlar PhET, University of Colorado Boulder (CC-BY 4.0).